NOÇÕES DE PROBABILIDADES

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IV. Modelos de probabilidade contínuos

Parte 78 de 78

Propriedade

Da simetria da curva normal, deduz-se imediatamente a seguinte propriedade:

Para calcular as probabilidades referentes à Normal, podemos utilizar, quer a máquina de calcular, quer o computador, através da folha de cálculo Excel. Exemplificamos a seguir alguns cálculos, utilizando o Excel.

Exemplo 1

Exemplo 1

Dada a variável Z com distribuição Normal de valor médio 0 e desvio padrão 1, calcule as seguintes probabilidades:

a) P(Z≤1.37)
b) P(Z>1.37)
c) P(-.155 <Z<1.60)
d) Determinar o valor de z, tal que P(Z=z) = .975
e) Determine o valor de z tal que P(Z>z) = .025

Resolução:

a) Utilizemos a função NORMDIST [DIST.NORM] do Excel
Escrevemos na célula A1 o valor 1,37 e na célula B1 "=NORMDIST(A1;0;1;TRUE)" [=DIST.NORM(A1;0;1;VERDADEIRO)]

d) Utilizemos a função NORMINV [INV.NORM] do Excel
Escrevemos na célula A1 o valor 0,975 e na célula B1 "=NORMINV(A1;0;1)" [=INV.NORM(A1;0;1)]

Exemplo 2

Exemplo 2

Dada a variável X com distribuição Normal de valor médio 5 e desvio padrão 2:

1 - Calcule as seguintes probabilidades:

2 - Calcule as probabilidades anteriores, admitindo que só tinha a possibilidade de fazer cálculos utilizando a Normal reduzida.

Resolução:

1. Utilizemos a função NORMDIST [DIST.NORM] do Excel
Escrevemos na célula A1 o valor 7,5 e na célula B1 "=NORMDIST(A1;5;2;TRUE)" [=DIST.NORM(A1;5;2;VERDADEIRO)]

2. Se não dispuséssemos de uma máquina de calcular ou do computador e só tivéssemos acesso a tabelas com os valores da distribuição Normal, estas só estão disponíveis para a Normal de valor médio 0 e desvio padrão 1. Então, teríamos de reduzir a variável, isto é, subtrair a X o valor médio e dividir o resultado pelo desvio padrão. Por exemplo, no que diz respeito à alínea c) teríamos:

No cálculo das probabilidades anteriores utilizámos a função do Excel que dá imediatamente as probabilidades referentes ao modelo N(0,1). De modo análogo se calculariam as outras probabilidades pedidas nas outras alíneas.

Exemplo 3

Exemplo 3

A produção diária de determinado artigo, pode ser modelada pelo modelo Normal com valor médio igual a 185 unidades e desvio padrão igual a 4.5 unidades.

a) Determine a probabilidade da produção diária ser inferior a 190 unidades.
b) Determine a probabilidade da produção diária estar compreendida entre 160 e 190 unidades.
c) O fabricante afirma que 80% das vezes a produção diária é superior a S. Qual o valor de S?

Resolução:

a) Seja X a variável que representa a produção diária do artigo em causa. Então X tem uma distribuição Normal(185, 4.5). Utilizando o Excel, obtivémos:
P(X<190) = 0.8667

b)
P(160<X<190) = 0.8667 – 0 = 0.8667

c)
P(X>S) = 0.80

S=?

P(X>S)=1-P(X≤S)=0.80

P(X≤S)=0.20

Exemplo 4

Exemplo 4

Suponha que, num determinado ano, as notas (numa escala de 0 a 200) do exame nacional a Matemática, distribuem-se de forma aproximadamente Normal, com valor médio 75 e desvio padrão 10.

a) Qual a percentagem de alunos com nota positiva (superior ou igual a 95)?
b) Uma determinada Universidade só permite a entrada a alunos cuja nota N seja tal que 55% dos alunos tenham uma nota maior ou igual a N. Qual é esta nota?

Resolução:

a) Seja X a variável que representa a nota de um aluno escolhido ao acaso, de entre os que realizaram o exame nacional. Então pretende-se:

A percentagem de alunos com nota positiva é 2.3%.