Índice | III. Probabilidade | V. Exercícios

IV. Modelos de Probabilidade discretos e contínuos

Parte 51 de 78

Modelos de probabilidade discretos

IV. 2.4.2.1 - Aplicação do Modelo Geométrico

O Problema das Caixas de Cereais

Suponha que, em cada caixa dos seus cereais favoritos, há um de 6 prémios. Na produção das caixas de cereais, os 6 prémios são distribuídos em igual proporção pelas caixas. Quantas caixas de cereais espera ter de comprar, para conseguir todos os 6 prémios?

Este é um problema clássico de probabilidades, que surge frequentemente na literatura e que vamos resolver, teoricamente e por simulação.

Resolução teórica

1. Representemos por X₁ a variável que representa o n.º de caixas que é necessário comprar até obtermos um prémio qualquer. Então X₁ pode ser modelada por um modelo Geom(1) (Quando compramos a 1ª caixa obtemos necessariamente um prémio, pois todas as caixas têm prémio);

2. Representemos por X₂ a variável que representa o n.º de caixas que é necessário comprar até obtermos um prémio qualquer, diferente do obtido quando se comprou a 1ª caixa. Então X₂ pode ser modelada por um modelo Geom(5/6) (Depois de termos obtido um dos prémios, consideramos um sucesso, a obtenção de uma caixa, com um dos 5 prémios, que não saiu na 1ª caixa comprada, sendo a probabilidade de sucesso 5/6);

3. Representemos por X₃ a variável que representa o n.º de caixas que é necessário comprar até obtermos um prémio qualquer, diferente dos 2 prémios obtidos anteriormente. Então X₃ pode ser modelada por um modelo Geom(4/6) (Depois de termos obtido dois dos prémios, consideramos um sucesso, a obtenção de uma caixa, com um dos 4 prémios, que não sairam nas caixas compradas anteriormente, sendo a probabilidade de sucesso 4/6);

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