Noções de Probabilidades

Noções de probabilidades

Introdução (Cont.)

Parte 3 de 3

Por outro lado, no módulo de Estatística foi chamada a atenção que para interpretar correctamente os resultados de análises estatísticas necessitamos de alguns conhecimentos probabilísticos. Esta situação surge quando pretendemos fazer Inferência Estatística, isto é, quando pretendemos tirar conclusões acerca de um grande conjunto de indivíduos, baseando-nos num número restrito desses indivíduos. Foi neste contexto que foram definidos os conceitos de População e Amostra nesse módulo.

É a probabilidade que nos vai permitir quantificar esta incerteza, quando passamos do particular (Amostra) para o geral (População) na medida em que quantifica o erro cometido ao tomarmos determinadas decisões.

Para definir o conceito de probabilidade, vamos introduzir alguma terminologia. A primeira definição a ser introduzida, vai ser a de experiência aleatória.

Índice | II. Experiência Aleatória

Introdução (Cont.)

Parte 2 de 3

Nas situações consideradas anteriormente em que somos conduzidos a utilizar a noção de probabilidade, e noutras situações da vida real em várias áreas científicas, estamos perante fenómenos não determinísticos, pois quando se realizam não temos a certeza do que é que se vai observar.

Quando apostamos no totoloto podemos jogar num número razoavelmente grande de chaves e só uma é que é a que nos permite ganhar; quando olhamos para o céu e não vemos nuvens, dizemos que não vai chover, porque a experiência anterior nos diz que em situações idênticas, não é costume chover; quando um doente é tratado com um novo medicamento pode ficar curado ou não; quando um político se candidata a determinadas eleições o número de eleitores que vai votar nele é desconhecido.

Cada uma destas situações pode ser considerada um fenómeno aleatório, por oposição aos fenómenos determinísticos, cujos resultados se conseguem prever.

A Teoria da Probabilidade prende-se com o estudo de modelos matemáticos especiais, a que chamamos modelos probabilísticos, para descrever fenómenos aleatórios.

Índice | III. Probabilidade | V. Exercícios

IV. Modelos de probabilidade contínuos

Parte 77 de 78

Para dar uma ideia da concentração da distribuição normal, em torno do seu valor médio, apresentamos seguidamente algumas probabilidades:

À distribuição normal que tem valor médio 0 e desvio padrão 1 chamamos distribuição "standard " ou reduzida, e representamos por

Se a v.a. X tiver valor médio

e desvio padrão

, então a v.a.

, tem valor médio 0 e desvio padrão 1.

Assim, a função que dá a probabilidade acumulada (função distribuição) para a normal reduzida, tem uma notação especial. Assim, se Z for uma v.a. normal com valor médio 0 e desvio padrão 1, representamos .

Índice | III. Probabilidade | V. Exercícios

IV. Modelos de probabilidade contínuos

Parte 78 de 78

Propriedade

Da simetria da curva normal, deduz-se imediatamente a seguinte propriedade:

Para calcular as probabilidades referentes à Normal, podemos utilizar, quer a máquina de calcular, quer o computador, através da folha de cálculo Excel. Exemplificamos a seguir alguns cálculos, utilizando o Excel.

Exemplo 1

Exemplo 1

Dada a variável Z com distribuição Normal de valor médio 0 e desvio padrão 1, calcule as seguintes probabilidades:

a) P(Z≤1.37)
b) P(Z>1.37)
c) P(-.155 <Z<1.60)
d) Determinar o valor de z, tal que P(Z=z) = .975
e) Determine o valor de z tal que P(Z>z) = .025

Resolução:

a) Utilizemos a função NORMDIST [DIST.NORM] do Excel
Escrevemos na célula A1 o valor 1,37 e na célula B1 "=NORMDIST(A1;0;1;TRUE)" [=DIST.NORM(A1;0;1;VERDADEIRO)]

d) Utilizemos a função NORMINV [INV.NORM] do Excel
Escrevemos na célula A1 o valor 0,975 e na célula B1 "=NORMINV(A1;0;1)" [=INV.NORM(A1;0;1)]

Exemplo 2

Exemplo 2

Dada a variável X com distribuição Normal de valor médio 5 e desvio padrão 2:

1 - Calcule as seguintes probabilidades:

2 - Calcule as probabilidades anteriores, admitindo que só tinha a possibilidade de fazer cálculos utilizando a Normal reduzida.

Resolução:

1. Utilizemos a função NORMDIST [DIST.NORM] do Excel
Escrevemos na célula A1 o valor 7,5 e na célula B1 "=NORMDIST(A1;5;2;TRUE)" [=DIST.NORM(A1;5;2;VERDADEIRO)]

2. Se não dispuséssemos de uma máquina de calcular ou do computador e só tivéssemos acesso a tabelas com os valores da distribuição Normal, estas só estão disponíveis para a Normal de valor médio 0 e desvio padrão 1. Então, teríamos de reduzir a variável, isto é, subtrair a X o valor médio e dividir o resultado pelo desvio padrão. Por exemplo, no que diz respeito à alínea c) teríamos:

No cálculo das probabilidades anteriores utilizámos a função do Excel que dá imediatamente as probabilidades referentes ao modelo N(0,1). De modo análogo se calculariam as outras probabilidades pedidas nas outras alíneas.

Exemplo 3

Exemplo 3

A produção diária de determinado artigo, pode ser modelada pelo modelo Normal com valor médio igual a 185 unidades e desvio padrão igual a 4.5 unidades.

a) Determine a probabilidade da produção diária ser inferior a 190 unidades.
b) Determine a probabilidade da produção diária estar compreendida entre 160 e 190 unidades.
c) O fabricante afirma que 80% das vezes a produção diária é superior a S. Qual o valor de S?

Resolução:

a) Seja X a variável que representa a produção diária do artigo em causa. Então X tem uma distribuição Normal(185, 4.5). Utilizando o Excel, obtivémos:
P(X<190) = 0.8667

b)
P(160<X<190) = 0.8667 – 0 = 0.8667

c)
P(X>S) = 0.80

S=?

P(X>S)=1-P(X≤S)=0.80

P(X≤S)=0.20

Exemplo 4

Exemplo 4

Suponha que, num determinado ano, as notas (numa escala de 0 a 200) do exame nacional a Matemática, distribuem-se de forma aproximadamente Normal, com valor médio 75 e desvio padrão 10.

a) Qual a percentagem de alunos com nota positiva (superior ou igual a 95)?
b) Uma determinada Universidade só permite a entrada a alunos cuja nota N seja tal que 55% dos alunos tenham uma nota maior ou igual a N. Qual é esta nota?

Resolução:

a) Seja X a variável que representa a nota de um aluno escolhido ao acaso, de entre os que realizaram o exame nacional. Então pretende-se:

A percentagem de alunos com nota positiva é 2.3%.

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IV. Modelos de probabilidade contínuos

Parte 76 de 78

Vejamos algumas propriedades, relativamente à representação gráfica, da função densidade normal, que se deduzem da sua expressão analítica (que não apresentamos por sair fora do âmbito deste curso):

é simétrica relativamente ao seu valor médio , de modo que duas curvas correspondentes a duas distribuições com o mesmo desvio padrão têm a mesma forma, diferindo unicamente na localização.

é tanto mais achatada, quanto maior for o valor de , de modo que duas curvas correspondentes a duas distribuições com o mesmo valor médio, são simétricas, relativamente ao mesmo ponto, diferindo no grau de achatamento.

Se deixasse cair um peso em cima da curva da função densidade, ela ficaria mais achatada, o que implicaria um maior desvio padrão!

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